こんにちは、Thumb up Cafe Blogへようこそ！
中学3年生の数学で、皆さんの前に現れる新しい記号が「√ (ルート)」です。この記号を使った計算、すなわち「平方根（へいほうこん）」の学習は、二次方程式や三平方の定理といった、これからの数学の応用分野を理解するための土台となります。
今回は、この平方根の定義から、計算を楽にするための有理化（ゆうりか）、そしてルートの計算ルールを徹底解説します！
1. 🌈 平方根の定義： 2乗すると a になる数
1-1. 平方根とは？
平方根とは、「2乗すると a になる数」のことです。
例えば、「2乗すると 9 になる数」を考えてみましょう。
- 3 × 3 = 9 ですから、3 は 9 の平方根です。
- (-3) × (-3) = 9 ですから、-3 も 9 の平方根です。
ポイント：
正の数 a の平方根は、必ず正の数と負の数の 2 つあります。
1-2. 根号（√：ルート）の導入
しかし、「2乗すると 2 になる数」は、きれいな整数や分数では表せません。そこで、この数を表すために特別な記号が使われます。これが「根号（こんごう）」あるいは「ルート」と呼ばれる √ です。
2 の平方根は、 √2 と -√2
- √2 は、2乗すると 2 になる正の数（約 1.414）を表します。
- √ の中の数は常に 0 以上でなければなりません。（2乗して負の数になる数はありません）
2. 🔑 根号のルール：乗法・除法（かけ算・わり算）
ルート同士のかけ算・わり算は、中の数（根号の中の数）同士で計算できます。
🔑 公式 1：乗法（かけ算）
ルートの中の数同士をかけ算し、1つのルートにまとめられます。
√a × √b = √ab
- 例: √3} × √5 = √3 × 5} = √15
🔑 公式 2：除法（わり算）
ルートの中の数同士でわり算し、1つのルートにまとめられます。
- 例:
🔑 公式 3： a√b の形への変形（aを中に入れる/外に出す）
ルートの中の数が2乗になっている部分があれば、それをルートの外に出すことができます。逆に、外にある数は、2乗して中に入れることができます。
- 例（外に出す）:
- 例（中に入れる）:
3. 🧩 計算の工夫：有理化（ゆうりか）
有理化とは、「分母に根号（ルート）がない形」にすることです。なぜなら、分母にルートがあると、その後の計算が複雑になったり、答えを比べるのが難しくなったりするからです。
💡 有理化の基本ルール
分母にある √a を消すために、分母と分子の両方に、同じ √a をかけます。
- 分母と分子に同じ数をかけても、値は変わらないという性質（分数の性質）を利用しています。
- 例:
4. ➕ 根号を含む式の計算：加法・減法（たし算・ひき算）
たし算・ひき算は、かけ算・わり算とルールが異なります。
🔑 ルール： ルートの中が同じものだけ計算できる！
たし算・ひき算は、ルートの中の数（被開平数）が全く同じであるものだけが計算できます。これは、文字式で同類項をまとめるのと同じルールです。
a√M + b√M = (a + b)√M
- 例: 3√5 + 4√5 = (3+4)√5 = 7√5
- できない例: √2 + √3 は、ルートの中が異なるため、これ以上計算できません。
🔑 総合計算のステップ
複雑な式は、必ず以下の手順で計算しましょう。
- 変形（外に出す）: ルートの中の数をできるだけ小さく変形し（√12 → 2√3 など）、ルートの中を統一します。
- 有理化: 分母にルートがあれば、有理化します。
- 計算: ルートの中が同じもの（同類項）だけを、たし算・ひき算します。
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