こんにちは、Thumb up Cafe Blogへようこそ！
中学3年生の数学で、新しい計算のルールである「多項式」を学習します。特に、展開（てんかい）と因数分解（いんすうぶんかい）は、高校数学やその後の理系分野に進むための最も重要な土台です。
今回は、この計算をスピードアップさせる**「魔法の公式」、すなわち展開の公式4つと因数分解の公式4つ**の秘密を徹底解説します！
1. 🌈 計算の基本：展開（乗法）と因数分解
1-1. 展開（てんかい）とは？
展開とは、「かっこを外して、項を一つずつかけていくこと」です。特に、多項式のかけ算を**乗法（じょうほう）**と呼びます。
(A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD
この計算を何度もスムーズに行うために使うのが、次に紹介する展開の公式です。
1-2. 因数分解（いんすうぶんかい）とは？
因数分解とは、展開とまったく逆の操作です。
「多項式を、いくつかの単項式や多項式の積（かけ算の形）に分解すること」を言います。
展 開： (x+2)(x+3) → x² + 5x + 6
因数分解： x² + 5x + 6 → (x+2)(x+3)
2. 🔑 展開の公式：計算を速くする4つの魔法
以下の4つの公式をマスターすれば、手間のかかる筆算や分配法則を省略し、一瞬で答えが出せるようになります。
🔑 公式 1：和と差の積（一番大切！）
真ん中の項が消えるという特徴を持つ、最も重要な公式です。
(x + a)(x – a) = x² – a²
- 名称: 2乗引く2乗（二乗引く二乗）
- 例: (x+5)(x-5) = x² – 5² = x² – 25
🔑 公式 2：平方（和の平方）
かっこの中が足し算になっているものを2乗する公式です。
(x + a)² = x² + 2ax + a²
- ポイント: 答えの真ん中の項（2ax）は、「両端の項をかけて 2 倍」すると覚えておきましょう。
- 例: (x+3)² = x² + （2 × 3） x + 3² = x² + 6x + 9
🔑 公式 3：平方（差の平方）
かっこの中が引き算になっているものを2乗する公式です。
(x – a)² = x² – 2ax + a²
- ポイント: 公式2と比べて、真ん中の項の符号だけがマイナスになります。
- 例: (x-4)² = x² – （2 × 4）x + 4² = x² – 8x + 16
🔑 公式 4：一般形（一番複雑！）
かっこの中の x 以外の数字が異なる場合の公式です。
(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab
- ポイント: 真ん中の項（x の項）の係数は「a と b を足したもの」、最後の項は「a と b をかけたもの」になります。
- 例: (x+2)(x+5) = x² + (2+5)x + 2 × 5 = x² + 7x + 10
3. 🧩 因数分解の公式：パズルを元に戻す4つのパターン
因数分解は、展開の公式を逆からたどる作業です。答えの多項式の形を見て、どの公式が使えるかを判断します。
🧩 公式 1（共通因数）：最優先で探す！
これは公式ではありませんが、因数分解で最も大切なルールです。
ma + mb = m(a + b)
- 共通因数（すべての項に含まれる共通なかけ算の要素）をかっこの前にくくり出すことから始めます。
- 例: 3x² + 6x = 3x(x + 2) （共通因数 3x をくくり出した）
🧩 公式 2：2乗引く2乗を元に戻す
展開の公式1を逆にします。項が2つで、間にマイナスがある多項式を探します。
x² – a² = (x + a)(x – a)
- 例: y² – 9 = y² – 3² = (y + 3)(y – 3)
🧩 公式 3・4：平方の形を元に戻す
展開の公式2と3を逆にします。項が3つあり、両端が何かの2乗になっている多項式を探します。
x² + 2ax + a² = (x + a)²
x² – 2ax + a² = (x – a)²
- 判断ポイント: 真ん中の項が、「両端の √ をとったものをかけて 2 倍」になっているか確認します。
- 例: x² + 10x + 25 → 両端は x² と 5² 。真ん中は 2 × x × 5 = 10x で一致。
- 答え: (x + 5)²
🧩 公式 5：一般形を元に戻す（たすきがけの基礎）
展開の公式4を逆にします。項が3つあり、上記の公式3・4に当てはまらない多項式で使います。
x² + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
- 判断ポイント: 「かけて ab になり、足して (a + b) になる2つの数 a, b」の組み合わせを探します。
- 例: x² + 7x + 12
- かけて 12 になる組み合わせ: (1, 12), (2, 6), (3, 4)
- このうち、足して 7 になるのは (3, 4)。
- 答え: (x + 3)(x + 4)
4. 🎯 Thumb up Cafe の個別指導で計算力を上げる！
多項式の計算は、すべての土台となるため、スピードと正確性が非常に重要です。特に因数分解では、まず共通因数がないか確認し、次に項の数や形から使える公式を判断する論理的な手順が求められます。
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